[회로 이론] 직류 RC 회로
음
어쩌다 보니 회로 이론도 파게 되었습니다. 재밌더라고요
가장 먼저 이 글에서는 RC회로에 대해 알아보려고 합니다.
RC회로란, 아래 그림과 같이 저항(R)과 축전기(C)로 구성된 회로입니다.
그러면 RC회로는 어떻게 작동할까요?
RC회로에 전원을 연결하기 이전에는, 축전기에 저장된 전하량은 0입니다. 그런데 전원을 연결하는 순간, 전류가 흐르며 축전기에 전하가 저장되기 시작합니다. 축전기에 저장되는 전하의 양에는 한계가 있으므로, 시간이 갈 수록 축전기에 저장된 전하량의 증가는 느려지게 되고, 이에 따라 전류도 약해지게 됩니다. 전하가 빨리 저장될 수록 전하의 흐름, 즉 전류가 많이 흐를테니까요.
이를 미분 방정식을 통해 표현할 수 있습니다. 우선 아래와 같이 도선에서 지점 1, 2, 3을 잡습니다.
전지의 전압을 $V_0$라 하고, 지점 1의 전위를 임의로 $V_0$, 지점 3의 전위를 0이라고 하겠습니다. 전지의 전압은 축전기가 충전되어도 변하지 않으니 지점 1, 3의 전위는 항상 같을 것입니다. 하지만, 지점 2의 전위 $V$는 그렇지 않습니다. $V$는 축전기가 충전되며 변화할 것입니다.
초기에는 지점 2의 전위 $V=0$일 것입니다. 축전기가 충전되어있지 않으므로, 축전기 양쪽의 전위가 같아야 하는 것이 그 이유입니다. $Q=CV$에서 $Q=0,\;C\neq0$이므로 $V=0$이라고 생각할 수도 있습니다.
그리고 시간이 충분히 흘러 축전기가 가능한 만큼 충전되어있을 때는 양쪽의 전위차가 최대가 되야하므로 $V=V_0$일 것입니다.
따라서 초깃값은 $t=0$일 때 $V=0, \; q=0$으로 쓸 수 있고, $\lim_{t\to\infty}{V(t)}=V_0$일 것이라고 예상해볼 수 있습니다.
저항값은 $R$, 축전기의 전기용량은 $C$, 축전기에 저장된 전하량은 $q$입니다.
이제 미분 방정식을 세워봅시다. 축전기에 대해 $Q=CV$ 식을 사용하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다.
$$q=C(V-0)=CV$$
또한 저항에 대해 옴의 법칙을 사용하고, $V$에 대해 정리하여 위 식에 대입해줍니다. 이때 회로 전체에서 전류는 같고, 전류는 전하의 흐름이므로 저항에 흐르는 전류를 $\frac{dq}{dt}$로 쓸 수 있습니다.
$$(V_0-V)=IR=\frac{dq}{dt}R$$
$$V=V_0-\frac{dq}{dt}R$$
$$q=C(V_0-\frac{dq}{dt}R)\\=CV_0-\frac{dq}{dt}CR$$
이 미분 방정식은 변수분리가 가능한 형태입니다. 따라서 정리 후 적분해줍니다.
$$CR\frac{dq}{dt}=CV_0-q$$
$$\frac{1}{CV_0-q}dq=\frac{1}{CR}dt$$
$$\int_{q=0}^{q=q(t)}{\frac{1}{CV_0-q}dq}=\int_{t=0}^{t=t}{\frac{1}{CR}dt}$$
$$\ln(CV_0-q(t))-\ln(CV_0)=-\frac{t}{CR}$$
이를 $q(t)$에 대한 식으로 정리하면 아래와 같은 결과를 얻습니다.
$$q(t)=CV_0\left(1-e^{-\frac{t}{CR}}\right)$$
즉, 시간에 따른 축전기에 저장된 전하량은 위의 식을 따르며, 아래와 같은 그래프로 나타난다는 것을 알 수 있습니다.
또한 $\lim_{t\to\infty}{q(t)}=CV_0$이므로, 축전기에 저장된 전하량은 $CV_0$로 수렴함을 알 수 있습니다.
시간에 따른 전류의 변화도 구해봅시다. 전류는 전하의 흐름이므로, 전하 $q(t)$를 시간에 대해 미분하면 됩니다.
$$i(t)=\frac{dq}{dt}=e^{-\frac{t}{CR}}$$
즉, 시간에 따른 전류 변화는 위와 같은 식으로 쓸 수 있고, 아래 그래프와 같이 시간이 지남에 따라 0으로 수렴하는 것을 확인할 수 있습니다.
이렇게 직렬 RC회로에 대해 알아보았습니다. 사실 회로의 기본적인 구성 장치에는 저항(R), 코일(L), 축전기(C) 3가지가 있는데, 첫 글로는 저항과 축전기 2개만 다루어보았습니다. 다음 글에서는 코일이 포함된 회로를 다루어보려 합니다.