[해석 역학] 변분법 : 오일러-라그랑주 방정식

물리를 하다보면, 어떤 값을 찾는 것이 아니라 함수의 모양 자체를 찾아야 하는 경우가 있습니다.

예를 들면 등주 문제나 최단 강하 곡선 문제 같은 것이 있죠.

등주 문제는 제한된 길이의 둘레로 최대의 넓이를 갖는 도형을 찾는 문제이고, 최단 강하 곡선 문제는 공이 경사면을 굴러내려갈 때 가장 빠르게 굴러 내려갈 수 있는 경사면의 모양을 찾는 문제입니다.

 

변분법을 쉽게 말하자면, 위와 같이 함수의 모양을 찾아야 하는 문제에서 해를 구하는 방법입니다. 앞으로 몇개의 글에 걸쳐 변분법에 대해 다루어 볼 예정입니다.

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범함수란, 함수를 입력받아 스칼라값 하나를 내놓는 함수입니다. 즉, 정의역 자체가 어떤 함수인 것이죠.

보통 아래와 같이 씁니다.

$$J=\int_{x_1}^{x_2}{f\{y(x), y'(x); x\}dx}$$

위와 같이 표기하면, 범함수 $J$는 함수 $y$와 그의 도함수 $y'$을 입력으로 받는 함수인 것이죠. 이때 $y, y'$은 $x$라는 변수를 입력 받는 또 하나의 함수인 것이고요.

이러한 범함수 $J$의 극값을 찾는 문제를 풀기 위한 분야가 변분법이고, 그 문제의 해가 되는 함수 $y$가 만족하는 미분 방정식이 바로 오일러-라그랑주 방정식입니다. 즉, 오일러-라그랑주 방정식은 범함수가 극값을 가지게 하는 함수를 찾을 수 있는 공식인 셈이죠.

그러면 이제 오일러-라그랑주 방정식을 유도해봅시다.

 

$y=y(x)$일 때 범함수 $J$가 극솟값을 가진다고 해봅시다.

그러면 아래 그림처럼 그 $y(x)$에 "인접한 함수" $y(\alpha, x)=y(0, x)+\alpha\eta(x)$를 생각할 수 있습니다.

이때 $\eta(x)$는 연속인 1차 도함수를 갖고, $\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$인 임의의 함수입니다. 즉, 함수 $\eta(x)$는 원래의 해 $y(x)$에서 미소한 차이를 만들어주는 함수인 것이죠. 조건 $\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$가 들어간 이유는, 적분의 양 끝에서 $y(x)=y(\alpha, x)$로 적분의 시작과 끝이 같아야 하기 때문입니다.

쉽게 비유하면, 양 끝이 고정된 팽팽한 줄이 있는데 그 줄을 조금 당겨서 아주 약간의 차이를 만들어준 것이라 생각하면 됩니다.

 

$y=y(\alpha, x)$를 위의 범함수에 대입합니다. 

$$J(\alpha)=\int_{x_1}^{x_2}{f\{y(\alpha, x), y'(\alpha, x); x\}dx}$$

범함수 $J$가 극값을 가질 조건은, $\left.\frac{\partial J}{\partial\alpha}\right\rvert_{\alpha=0}=0$입니다. 왜냐면 $\alpha=0$일 때, $y(\alpha, x)=y(x)$이고, 이것이 극값 조건이어야 하기 때문입니다. $\alpha$ 값이 변함에 따라 극값인지 아닌지가 변하므로 $\alpha$로 편미분 해주고, $\alpha=0$일 때 극값이므로 편미분계수가 $0$이어야 하는 것이죠.

따라서 이를 이용하기 위해, $J$를 $\alpha$로 편미분 해줍시다.

$$\frac{\partial J}{\partial \alpha}=\frac{\partial}{\partial \alpha}\int_{x_1}^{x_2}{f\{y, y'; x\}dx}=\int_{x_1}^{x_2}{(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \alpha})dx}$$

$f$를 $\alpha$로 편미분해야하므로, 합성함수 미분을 이용하여 $f$를 먼저 $y$와 $y'$으로 편미분해주고 이를 다시 $\alpha$로 편미분해주었습니다. $x$는 $\alpha$에 의존하지 않으므로 편미분해서 $0$이 되어 생략할 수 있습니다.

 

$\frac{\partial y}{\partial \alpha}$와 $\frac{\partial y'}{\partial \alpha}$을 계산해줍시다. $y=y(0, x)+\alpha\eta(x)$이므로 $$\frac{\partial y}{\partial \alpha}=\eta(x)$$

$$\frac{\partial y'}{\partial \alpha}=\frac{d\eta}{dx}$$

입니다. 이를 위 식에 대입하고

$$\int_{x_1}^{x_2}{(\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx})dx}=\int_{x_1}^{x_2}{\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)dx}+\int_{x_1}^{x_2}{\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx}dx}$$

두 번째 항을 부분적분 해줍니다. 적분하는 함수를 $\frac{d\eta}{dx}$, 미분하는 함수를 $\frac{\partial f}{\partial y'}$로 두었습니다.

$$\int_{x_1}^{x_2}{\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)dx}+\left(\left.\frac{\partial f}{\partial y'}\eta(x)\right\rvert_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}{\frac{d}{dx}(\frac{\partial f}{\partial y'})\eta(x)dx}\right)$$

그런데 $\eta(x_1)=\eta(x_2)=0$이므로, 가운데 항은 $0$이 됩니다. 따라서 남은 항들을 $\eta(x)$로 묶어줍니다. 따라서 아래와 같은 식으로 정리됩니다.

$$\frac{\partial J}{\partial \alpha}=\int_{x_1}^{x_2}{\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx}$$

이때 극값 조건은 $\left.\frac{\partial J}{\partial\alpha}\right\rvert_{\alpha=0}=0$이고, $\eta(x)$가 임의의 함수이므로, $\eta(x)$로 묶여있는 괄호 안의 식이 $0$이 되어야 합니다. 따라서

$$\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0$$

이 됩니다. 이 식이 바로 오일러-라그랑주 방정식입니다.

다시 말하면, 범함수 $J=\int_{x_1}^{x_2}{f\{y(x), y'(x); x\}dx}$가 극값을 갖도록 하는 함수 $y$는 위의 오일러-라그랑주 방정식을 만족하는 함수인 것이죠.

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이렇게 오일러-라그랑주 방정식에 대해 살펴보았습니다. 오일러-라그랑주 방정식은 나중에 라그랑주 역학의 기초가 되는 중요한 식입니다. 이에 대해서는 나중에 따로 글을 써보겠습니다.