[미분 방정식] 미분 방정식이란? & 초기값 문제(IVP)

지금까지 미분 방정식을 따로 다루지는 않았지만, 조금씩 사용해왔습니다. 그러나 이제는 제대로 다루어보려 합니다.

그 첫글로, 미분 방정식이 무엇인지, 그리고 미분 방정식의 초깃값 문제에 대해 글을 써보도록 하겠습니다.

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미분 방정식 (Differential Equation)

다른 말을 하기 전에, 미분 방정식이 뭔지부터 살펴봅시다.

미분 방정식이란 어떤 변수와 그에 대한 함수, 그 함수의 도함수들로 이루어진 방정식이다.

 

우리가 평소에 다루는 $x^2+2x+1=0$과 같은 방정식을 생각해봅시다. 이러한 방정식을 푼다는 것은, 미지수 $x$의 값을 구하는 것이죠. 미분 방정식은 미지의 함수를 구하는 것이 목표입니다. $3f'(x)=f(x)+4$과 같은 식에서, $f(x)$가 어떻게 생긴 함수일지를 구하는 것이죠.

예를 들어봅시다. $f(x)=f'(x)$라는 미분 방정식이 있습니다. 고등학교 수학을 배우셨다면, $f(x)=e^x$가 이 미분 방정식을 만족함을 알 수 있습니다. $e^x$는 미분해도 $e^x$이니까요. 즉, $f(x)=e^x$는 이 미분 방정식의 해입니다.

 

$3x+1=0$은 일차 방정식, $x^2-1=0$은 이차 방정식과 같이 차수를 따질 수 있습니다. 미분 방정식도 마찬가지입니다. n계 도함수가 포함된 미분방정식이라면 n계 미분 방정식(n-order differential equation)이라고 부릅니다. 그 도함수들이 서로 선형이면 (모두 덧셈과 상수배로 연결되어 있으면) 선형 미분 방정식(linear differential equation), 그렇지 않으면 (하나라도 서로 곱해져있으면) 비선형 미분 방정식(nonlinear differential equation)이라고 부릅니다.

또한 미분에는 상미분과 편미분 2가지 종류가 있습니다. 미분 방정식에 편미분이 포함되어있다면 편미분 방정식(partial differential equation, PDE), 그렇지 않으면 상미분 방정식(ordinary differential equation, ODE)이라고 부릅니다.

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초값 문제 (Initial Value Problem, IVP)

미분 방정식 $f(x)=f'(x)$를 다시 가져옵시다. 아까 이 미분 방정식의 해로 $f(x)=e^x$를 언급했었습니다. 그런데 과연 해가 이 친구 하나만 있을까요?

 

조금만 머리를 굴려보면, 상수를 미분하면 0이 되므로, $f(x)=e^x+C \quad (C\text{ is constant})$는 모두 이 미분 방정식의 해가 됨을 알 수 있습니다. 즉, 단순히 미분 방정식'만' 있는 문제의 해는 유한합니다. 부정적분 시 적분상수가 나오는 것과 같은 이치라고 생각하시면 됩니다.

 

그런데, 만약 조건 하나가 더 있다면 어떨까요? 예를 들면, $f(x)='f(x), \quad f(0)=4$와 같은 문제를 생각해보는 거죠.

미분 방정식을 만족하는 함수는 여전히 $f(x)=e^x+C$로 무수히 많지만, 조건 $f(0)=4$ 또한 동시에 만족하는 함수는 $f(x)=e^x+3$ 하나 밖에 없습니다. 즉, 문제의 해가 유일해졌습니다.

 

이와 같이 초기값 문제는, 미분 방정식과 어떤 한 점에서의 함수값이 주어진 문제입니다. 미분 방정식이 있고, 초기값이라고 부르는, 우리가 구하고 싶은 함수의 어떤 한 점에서의 함수값이 있는 문제이죠. 초기값 문제는 과학, 특히 물리학에서 많이 등장하여 문제의 해를 특정해줍니다.

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미분 방정식 첫 글이니만큼, 간단하게 개념적인 부분에 대해서만 다루어 보았습니다. 다음 글부터 본격적으로 미분 방정식을 푸는 방법에 대해 이야기하려 합니다.