[유체 역학] 오일러 관점과 물질 미분

드디어...! 과제가 끝났습니다. 앞으로는 올리고 싶은 글들도 많이 올려보겠습니다아-

그 첫 번째로 이 글에서....

유체 역학을 공부하기 위해 필요한 개념인, 오일러 관점과 물질 미분에 대해 알아보도록 하겠습니다.

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우리가 평소 접해왔던 역학은, 라그랑주 관점에서 생각한 것입니다. 라그랑주 관점이란, 개별 입자의 운동을 표현하는 관점입니다. 예를 들면, 나무 토막이 경사면에서 미끄러지는 상황을 기술하고 싶을 때, 나무토막의 위치와 시간에 관한 운동방정식을 써서 푸는 것이죠. 많이 들었을 $F=ma$를 생각하시면 됩니다.

 

하지만, 유체는 다릅니다. 유체에 라그랑주 관점을 적용한다면, 유체 입자 하나마다 운동방정식을 다 써주어야 할 것입니다. 가능할까요? 현실적으로 불가능 할 것입니다. 그래서 도입한 것이 오일러 관점입니다.

 

오일러 관점에서는 유체를 부드러운 연속체로 가정합니다. 그리고 한 지점에 고정하여 유체를 관찰하는데, 그곳을 지나는 유체의 시간에 따른 변화를 관측한다는 것이 오일러 관점입니다. 조금 더 자세히 설명해보겠습니다.

 

그림과 같이 유체(또는 유체를 표현하는 벡터장)에서 어떤 위치의 벡터장을 관측하고 있습니다. (빨간색 박스)

라그랑주 관점을 사용했다면, 유체 입자를 따라서 위치를 계속 옮기며 관측을 해야할 것이고, 그짓을 모든 입자들에 대해 해야 합니다. 오....

 

하지만 오일러 관점을 사용했다면 조금 더 편리해집니다.

벡터장의 변화를 관측하고 싶은데, 그 "변화"에는 크게 2가지가 있을 것입니다.

우선, 같은 시점이더라도 위치에 따라 벡터장이 변화할 수 있습니다. 따라서 관측 위치를 x축을 따라 1번 위치로 옮길 수도 있고, y축을 따라 2번 위치로 옮길 수도 있습니다.

그리고, 위치가 같더라도 시간에 따라 벡터장이 변화할 수 있습니다. 따라서 시간이 t1일 때 벡터장을 관측하고, t2일 때 벡터장을 관측하며 변화를 살펴볼 수도 있죠.

이러한 것이 오일러 관점입니다. 그리고, 이 오일러 관점을 편리하게 수식으로 나타내기 위해 새로 정의한 "변화율"이 바로 물질 미분(물질 도함수, material derivative)라고 생각할 수 있습니다.

물질 미분은 아래와 같이 표기하고 정의합니다.

$$\frac{D}{Dt}=v_x\frac{\partial}{\partial x}+v_y\frac{\partial}{\partial y}+v_z\frac{\partial}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial t}\\=\frac{\partial}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla$$

 

음... 복잡해 보일수 있지만 하나씩 뜯어보면 다 앞에서 했던 이야기 입니다.

 

먼저 $v_x\frac{\partial}{\partial x}+v_y\frac{\partial}{\partial y}+v_z\frac{\partial}{\partial z}$을 살펴보죠. 보시면, 3차원 좌표의 각 성분에 대해 편미분을 하고, 거기다가 각 성분에 해당하는 속도를 곱해주었습니다. 이것은 오일러 관점에서 관측하는 위치를 변화시킨 것에 해당하는 항입니다.

그런데 속도가 곱해져 있는 것에 의문을 품을 수 있습니다. 간단히 설명해보자면 우리는 결국 위치를 변화시키더라도 위치가 변함에 따라 시간 변화율이 어떻게 달라지는 것인지를 알고 싶은 것입니다. 그렇기 때문에 그 위치에서 벡터장 자체가 변화는 상황, 즉 "벡터장이 흐름에 따라 시간에 따라 벡터장이 변함"을 고려하고 싶은 것이죠. 시간에 따른 흐름의 변화를 나타내는 것이 속도기 때문에 속도를 곱했다고 생각하시면 될 것 같습니다.

위 항들을 대류 미분에 해당하는 항들이라고 합니다. 유체 입자의 이동으로 인한 유체 성질의 시간 변화율이라고 생각하시면 됩니다.

 

다음은 $\frac{\partial}{\partial t}$항입니다. 이 항은 위치를 고정시키고 시간을 변화시켜 벡터장의 화를 살펴본 것에 해당하는 항입니다. 위치를 고정시키고 오직 시간만 변화시켰기 때문에 함수를 시간에 대해 편미분을 한 것입니다. 이 항은 국소 미분에 해당하는 항입니다. 어떤 위치에서의 유체 성질의 시간 변화율이죠.

 

이 항들을 델(Del) 연산자 $\nabla$를 사용하여 정리하면 아래와 같이 되는 것입니다.

$$\frac{D}{Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla$$

 

어... 델 연산자 $\nabla$는 굉장히 신기하고 재밌는 개념인데, 할 말이 많으므로 나중에 다루도록 하겠습니다.

 

+(물질 미분의 조금 더 정확한 유도)

함수 $f=f(x, y, z, t)$를 생각해봅시다. 전미분을 사용하여 이 함수의 미소 변화율을 구하면 아래와 같이 됩니다.

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial t}dt$$

(전미분에 대한 간단한 설명은 아래 접은 글에 있습니다)

<전미분 간단 설명>

음함수 미분을 확장한 것이 전미분이라고 생각하시면 편합니다.

 

함수 $f=xy^2$을 $x$에 대해 음함수 미분하면,

$$\frac{df}{dx}=y^2+2xy\frac{dy}{dx}$$

입니다. 여기서 우변의 앞에 항은 $x$를 미분한 것이고, 뒤에 항은 $y^2$을 미분한 것이죠. 이때 $y$에 대해 편미분을 하여 $2y$를 만들고, 합성함수 미분을 사용하여 $y$를 $x$에 대해 미분한 것을 곱해준 것이죠.

 

같은 방식으로, 함수 $z=f(x, y)$를 $t$에 대해 전미분 하면, 함수의 각 변수에 대해 편미분을 한 것에 각 변수의 미소 변화량을 곱해준 것을 모두 더한 것이 됩니다. 아래와 같이 말이죠.

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt]$$

이러한 것을 전미분이라고 합니다.

 

우리는 시간, 위치를 옮겨가면서 어쨌든 함수의 시간 변화율을 보고 싶은 것이므로, 함수의 미소 변화율 $df$를 미소 시간 $dt$로 나누어줍니다.

$$\frac{df}{dt}=\frac{1}{dt}(\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz+\frac{\partial f}{\partial t}dt)$$

$\frac{df}{dt}$가 곧 우리가 알고자 하는 물질 미분 $\frac{Df}{Dt}$이므로 다시 써주면,

$$\frac{D}{Dt}f=v_x\frac{\partial f}{\partial x}+v_y\frac{\partial f}{\partial y}+v_z\frac{\partial f}{\partial z}+\frac{\partial f}{\partial t}$$

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이상 유체 역학을 공부하기 위해 기초가 되는 오일러 관점과 물질 미분에 대한 설명이었습니다. 이해가 되셨나요?