[유체 역학] 연속 방정식

오랜만에 유체역학...! 저번에 오일러 관점과 물질미분에 대해 알아보았습니다.

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[유체 역학] 오일러 관점과 물질 미분

이번에는 연속 방정식에 대해 알아보도록 하겠습니다.

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연속 방정식 (Continuity Equation), 다른 이름으로 보존 방정식이라고 부르기도 하는 이 방정식은 질량 보존을 나타내는 방정식입니다. 무슨 말이냐, 유체가 흐르면서 속도가 빨라지기도 하고, 압축되기도 합니다. 그렇게 다양하게 변하더라도, 항상 총 질량은 일정합니다. 어디서 사라지거나 나타나지는 않죠.

 

좀 더 자세히 살펴봅시다. 유체가 흐르다가 속도가 줄어들면 어느 구간에서 병목현상이 일어날 것이고, 그 지점 부근에서는 유체가 많이 몰려 압축될 것입니다. 반대로 병목현상이 풀리는 구간에서는 유체가 퍼져나가며 압축이 풀어지겠죠. 이러한 변화들 사이 관계를 기술한 방정식이 연속 방정식인 것입니다.

 

연속 방정식이 무엇인지 알았으니, 유도를 해봅시다.

먼저 아래와 같은 미소 부피 $dxdydz$를 고려합시다.

여기서 $x$축 방향의 유입량을 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$\rho v_x dydz$$

유입되는 방향의 면적 $dydz$와 속도 $v_x$를 곱하여 초당 유입되는 부피를 계산하고, 여기에 밀도를 곱하여 초당 유입되는 질량을 계산한 것입니다.

그리고 미소길이 $dx$를 지나며 밀도 $\rho$와 속도 $v_x$가 변화할 수 있겠죠. 따라서 미소부피를 지난 이후 유출량은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

$$\lim_{\Delta(\rho v_x) \to 0}(\rho v_x + \Delta(\rho v_x))dydz = (\rho v_x + \frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x}dx)dydz$$

따라서 $x$축 방향 유량의 차이는 아래와 같이 (유출량)-(유입량) 으로 계산할 수 있습니다.

$$ (\rho v_x + \frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x}dx)dydz - \rho v_x dydz = \frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x}dxdydz$$

같은 방식으로 $y$축, $z$축 방향 유량의 차이를 계산해줍니다.

$$ \frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y}dxdydz $$

$$ \frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z}dxdydz $$

따라서 미소 부피에 대해 총 유량 감소량(net mass flow)은 $x, y, z$축 방향 유량의 차이를 모두 더하여 계산할 수 있고, 이를 발산(divergence)를 이용하여 표현할 수 있습니다.

$$\text{net mass flow} = (\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} + \frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} + \frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z})dxdydz=\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})dxdydz$$

 

또한 미소 부피 내 질량은 $\rho dxdydz$이고, 이를 시간에 대해 미분한 후 음부호를 취해주면 질량 감소량이 됩니다. 이때 미소 부피 $dxdydz$는 시간에 따라 변하지 않으므로 밀도 $\rho$만 시간에 대해 편미분 해줍니다.

$$\text{time rate of decrease of mass}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}dxdydz$$

 

위 두 식을 같다고 놓고 정리하면, 연속 방정식이 완성됩니다.

연속 방정식 Continuity Equation
유체의 질량 보존을 나타내는 방정식
밀도가 $\rho$, 유체의 속도가 $\mathbf{v}$일 때,
$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0$$

특히, 비압축성 유체의 경우, $\Delta\rho=0$이므로
$$\nabla\cdot\mathbf{v}=0$$

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이렇게 연속 방정식에 대해 알아보았습니다. 처음에 식만 보면 굉장히 복잡해보이지만, 사실은 과학 원리 중 가장 기본인 질량 보존을 나타낸다는 사실이 흥미로운 것 같습니다. 연속 방정식처럼 표현은 어려워 보이지만, 사실 내용은 굉장히 쉬운 것들이 물리에 많은 것 같은데, 이러한 점을 더 많은 사람들이 알고 물리를 쉽게 받아들였으면 좋겠습니다.