[벡터 해석학] 델 연산자 (Del Operator) - (1) 델 연산자 소개

좀 어렵지만, 올림피아드 공부 회피도 할 겸 재미있는 걸 해봅시다. 
앞으로 델 연산자에 대해 다룰 것인데, 이 글에서는 델 연산자가 무엇인지 간단하게 소개해보도록 하겠습니다.

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수학이나 물리에 관심이 있으신 분이라면, 책에서 한 번쯤은 델 연산자를 보신적이 있으실 것 같습니다.
 

$$\nabla$$

그리스 대문자 $\Delta$를 뒤집어 놓은 것과 같이 생긴 이 기호는, 아주 흥미로운 친구입니다. 델 연산자 (Del Operator) 또는 나블라 (nabla) 라고 부르기도 합니다.
 
델 연산자의 쓰임은 아래와 같이 4가지가 있습니다. 이때 $f=f(x, y, z)$는 스칼라 함수, $\mathbf{F}(x, y, z)=F_1(x, y, z)\mathbf{\hat{i}}+F_2(x, y, z)\mathbf{\hat{j}}+F_3(x, y, z)\mathbf{\hat{k}}$는 벡터 함수입니다.
 
1. 그래디언트 (gradient)
$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{\hat{i}}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{\hat{j}}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{k}}$$
 
2. 발산 (divergence)
$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$$
 
3. 회전 (curl)
$$\nabla\times\mathbf{F}=(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z})\mathbf{\hat{i}}+(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x})\mathbf{\hat{j}}+(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\mathbf{\hat{k}}$$
 
4. 라플라시안 (Laplacian)
$$\Delta f=\nabla^2f=\nabla\cdot\nabla f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}$$
 
그런데 위와 같이 4가지를 각각 다 외우고 있어야 한다면 불편하겠죠. 또 그래디언트까지는 그렇다고 쳐도 발산과 회전을 보면, 표기가 많이 어색하실 수 있습니다. 연산자라면서 막 내적 외적을 하고 있습니다. ㅡ.ㅡ
 
하지만 이는 델 연산자의 "근본적인 정의"를 알게 된다면, 델 연산자를 굉장히 잘 만들었구나를 알게 되실 겁니다. 
$$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{\hat{i}}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{\hat{j}}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{\hat{k}}$$
델 연산자의 특징은, 위에 연산 종류에서 볼 수 있듯이 벡터처럼 다룰 수 있다는 것입니다. 위 정의를 사용해서 각 연산을 다시 살펴봅시다.
 
1. 그래디언트 (gradient)
$$\nabla f=(\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{\hat{i}}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{\hat{j}}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{\hat{k}})f\\=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{\hat{i}}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{\hat{j}}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{k}}$$
그냥 표기대로 $\nabla$과 $f$가 스칼라곱 되어있어서 분배법칙을 통해 전개해준 것입니다.
 
2. 발산 (divergence)
$$\nabla\cdot\mathbf{F}=(\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{\hat{i}}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{\hat{j}}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{\hat{k}})\cdot(F_1(x, y, z)\mathbf{\hat{i}}+F_2(x, y, z)\mathbf{\hat{j}}+F_3(x, y, z)\mathbf{\hat{k}})\\=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$$
이 친구 또한 표기대로 $\nabla$과 $\mathbf{F}$를 내적해준 것이죠.
 
3. 회전 (curl)
$$\nabla\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix} \mathbf{\hat{i}} & \mathbf{\hat{j}} & \mathbf{\hat{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}\\=(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z})\mathbf{\hat{i}}+(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x})\mathbf{\hat{j}}+(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\mathbf{\hat{k}}$$
마찬가지로 표기대로 계산하면 되는데, 이 때문에 회전은 복잡한 아래 식 말고 위와 같은 행렬식의 형태로도 종종 씁니다.
 
4. 라플라시안 (Laplacian)
$$\Delta f=\nabla^2f=\nabla\cdot\nabla f\\=\nabla\cdot(\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{\hat{i}}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{\hat{j}}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{\hat{k}})\\=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}$$
마지막으로 라플라시안도 표기한 대로 계산하면 됩니다.
 
이렇게 델 연산자를 벡터로 취급하여 사용한다면, 위 연산들이 겉보기에는 복잡해보이지만 사실은 굉장히 편리하게 사용할 수 있다는 것을 알 수 있습니다. (제가 델 연산자에 빠진 이유이기도 하죠)

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이렇게 델 연산자에 대해 간단하게 알아보았습니다.
각각의 의미는 나중에 각 글에서 자세히 알아보도록 하겠습니다.