[벡터 해석학] 델 연산자 (Del Operator) - (3) 발산 (Divergence)

델 연산자 세 번째 글, 발산(divergence)에 대해 다루어 보도록 하겠습니다.

여기부터 조금 낯설 수 있는데, 이 글이랑 다음글 회전(Curl)을 잘 이해해본다면 앞으로 굉장히 재밌어 질거에요

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Divergence
$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$$
(  $\mathbf{F}(x, y, z)=F_1(x, y, z)\mathbf{\hat{i}}+F_2(x, y, z)\mathbf{\hat{j}}+F_3(x, y, z)\mathbf{\hat{k}}$  )

 

발산은 델 연산자와 벡터 함수를 내적하는 연산입니다. 이때 중요한 것은 연산의 대상이 벡터 함수라는 것입니다. 즉, 발산 연산을 하려는 함수는 출력이 벡터여야 합니다.

 

발산이 이렇게 정의되는 건 알겠는데, 도대체 저 녀석이 의미하는게 뭘까요? 참 난해해 보입니다.

발산 연산에는 특정 점에서 벡터장이 퍼져 나와 새로 생기는지, 모여 들어가 없어지는지, 말 그대로 특정 점에서 벡터장의 발산/수렴 여부를 판별할 수 있는 물리적 의미가 들어있습니다.

가장 좋은 비유가 세면대일 것 같습니다. 수도꼭지에서는 물이 막 나오는 반면, 세면대 구멍으로는 물이 들어가죠. 겉으로 보면 수도꼭지에서는 물이 퍼져 나와 생겨나는 것처럼 보이고, 세면대 구멍으로 물이 모여 들어가 사라지는 것처럼 보입니다. 바로 이런 것을 판단하는 연산이 발산 연산입니다.

 

발산 연산의 결과는 그 점에서 벡터장이 발산하는 양을 의미합니다. 스칼라값으로 결과가 나오죠. 크게 3가지, 음수, 양수, 0으로 결과를 분류해볼 수 있습니다. 결과가 양수면, 그 점에서 벡터장은 발산합니다. 음수이면 발산하는 양, 즉 새로 생겨나는 양이 음수이므로 그 점에서 사라진다고 해석하여, 수렴한다는 것을 알 수 있습니다. 결과가 0이면? 그 점에서 발산도 수렴도 안하는 것이겠죠.

 

발산 연산이 뜻하는 바까지 알아 보았습니다. 그렇다면 이 식은 어떻게 유도된 것일까요? 이제부터 발산 수식을 유도해보도록 하겠습니다.

 

벡터함수 $\mathbf{F}(x, y, z)=F_1(x, y, z)\mathbf{\hat{i}}+F_2(x, y, z)\mathbf{\hat{j}}+F_3(x, y, z)\mathbf{\hat{k}}$를 잡고, 아래 그림과 같은 $\Delta x\times\Delta y$ 크기의 2차원 미소 영역을 잡습니다.

발산량을 구해봅시다. $x$방향 발산량은, 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 

$$\frac{F_1(x+\Delta x, y+\frac{1}{2}\Delta y)-F_1(x, y+\frac{1}{2}\Delta y)}{\Delta x}$$

위 식의 의미는 간단합니다. 분자는 $x$좌표가 $\Delta x$만큼 달라졌을 때 함수값의 차이, 즉 미소영역 구간을 지나며 생긴 양을 의미합니다. $x$방향으로 미소 영역을 지났을 때 생성된 양, 즉 $x$방향 발산량을 구하려고 벡터함수 $\mathbf{F}$의 $x$성분 $F_1$의 변화량을 본 것이고요. 이를 미소영역의 크기 $\Delta x$로 나누어주어 정규화한 것이죠. 

같은 방식으로, $y$방향 발산량은 아래와 같이 됩니다.

$$\frac{F_2(x+\frac{1}{2}\Delta x, y+\Delta y)-F_2(x+\frac{1}{2}\Delta x, y)}{\Delta y}$$

그렇다면, 미소영역의 발산량은 $x$방향 발산량과 $y$방향 발산량을 합친 것으로 쓸 수 있습니다.

$$\frac{F_1(x+\Delta x, y+\frac{1}{2}\Delta y)-F_1(x, y+\frac{1}{2}\Delta y)}{\Delta x}+\frac{F_2(x+\frac{1}{2}\Delta x, y+\Delta y)-F_2(x+\frac{1}{2}\Delta x, y)}{\Delta y}$$

이제 이 발산량은 "미소영역"에서의 발산량이므로, $\Delta x$와 $\Delta y$를 극한을 취하여 0으로 보내줍니다.

$$\lim_{\Delta x\to0}\lim_{\Delta y\to0}\frac{F_1(x+\Delta x, y+\frac{1}{2}\Delta y)-F_1(x, y+\frac{1}{2}\Delta y)}{\Delta x}+\frac{F_2(x+\frac{1}{2}\Delta x, y+\Delta y)-F_2(x+\frac{1}{2}\Delta x, y)}{\Delta y}$$

그런데 이 식을 잘 보면, 미분계수 모양임을 알 수 있습니다. 그런데 각각 $y$와 $x$가 고정되어 있는 형태이죠. 즉, 위 식은 편미분을 사용해서 쓸 수 있습니다. ($x$가 변하고 $y$가 고정되어 있으면 $y$를 상수취급할 수 있으므로 $x$에 대한 편미분이 되는 것입니다.)

따라서, 발산 연산은 최종적으로 아래와 같이 유도됩니다.

$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial y}+\frac{\partial F_2}{\partial z}$$

 

여기서는 2차원을 증명해보았지만, 3차원도 어렵지 않습니다. 했던 방식으로 $z$방향 발산량만 구해서 더해주면 되는 것이죠.

$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$$

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이렇게 발산(divergence) 연산에 대해 알아보았습니다. 식의 모양만 보면 도대체 이게 뭘 의미하는지 감이 전혀 안 오지만,자세히 뜯어보면 어떤 점에서의 발산량을 나타낸다는 사실이 신기한 것 같습니다.