[벡터 해석학] Jacobian Matrix

오랜만에 수학 글

이 글에서는 Jacobian Matrix에 대해 다루어 보도록 하겠습니다.

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Gradient 글에서 gradient는 다변수 스칼라 함수의 일차 도함수를 의미한다고 했습니다.

https://crane206265.tistory.com/25

[벡터 해석] 델 연산자 (Del Operator) - (2) 그래디언트 (Gradient)

 

이와 비슷하게, Jacobian Matrix는 다변수 벡터 함수, 즉 입력이 벡터이고 출력 또한 벡터인 함수의 일차 도함수라고 할 수 있습니다.

우선, 벡터 함수 $\mathbf{F}(\mathbf{x})=(F_1(\mathbf{x}), F_2(\mathbf{x}), \cdots, F_n(\mathbf{x}))$ (이때, $\mathbf{x}=(x_1, x_2, \cdots, x_m)$)의 Jacobian Matrix $J(\mathbf{F})$는 아래와 같이 정의됩니다.

$$J(\mathbf{F})= \begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \frac{\partial F_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_m} \\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1} & \frac{\partial F_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_2}{\partial x_m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_n}{\partial x_1} & \frac{\partial F_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial x_m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{\nabla}F_1(\mathbf{x}) \\ \mathbf{\nabla}F_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ \mathbf{\nabla}F_n(\mathbf{x}) \end{bmatrix} $$

 

왜 Jacobian Matrix가 다변수 벡터 함수의 일차 도함수의 의미를 가지는지 눈치 채셨나요?

 

다변수 스칼라 함수의 일차 도함수가 gradient입니다. 한편 벡터 함수는 각 성분별로는 스칼라 함수로 생각할 수 있습니다. 즉, 스칼라 함수를 묶어놓은 벡터 내지는 순서쌍을 벡터 함수로 생각할 수 있습니다. 그렇다면, 그 각각의 스칼라 함수에 대해 일차 도함수를 구한다면, 그것이 벡터 함수의 일차 도함수라고 말할 수 있겠죠.

그런데 다변수 벡터 함수의 경우에는, 그 각각의 스칼라 함수들의 입력이 벡터입니다. 입력이 벡터인 스칼라 함수의 일차 도함수는 gradient이기 때문에, Jacobian Matrix의 의미가 다변수 벡터 함수의 일차 도함수가 되는 것입니다.

 

수식을 이용하여 써보면, 벡터 함수 $\mathbf{F}=(F_1, F_2, \cdots, F_n)$가 있고, 이 벡터 함수의 도함수는 벡터 각각 성분의 도함수를 성분으로 하는 벡터입니다. 그런데 $F_1, F_2, \cdots, F_n$이 다변수 스칼라 함수이므로, 이들의 도함수는 gradient를 사용하여 구해야 하죠. 따라서 $\mathbf{F}$의 도함수는

$$(\nabla F_1, \nabla F_2, \cdots, \nabla F_n)$$

이 되는 것이죠. 이를 열벡터로 바꾸고, gradient의 정의에 따라 풀어 써주기만 하면 위의 Jacobian Matrix가 되는 것입니다.

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지금까지 Jacobian Matrix의 의미에 대해 알아보았습니다. 하지만, Jacobian Matrix에는 이것 말고도 기하학적인 의미도 숨어있습니다. 이에 대해서는 다른 글에서 나중에 따로 다루도록 하겠습니다.