[벡터 해석학] 선적분 Line Integral

 

 

이번 글에서는 선적분에 대해 알아보겠습니다.

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선적분(line integral)은 직선 위의 정적분을 곡선으로 일반화한 것입니다. 즉, 곡선을 따라가며 적분하는 것이죠.

아래와 같은 간단한 정적분을 생각해봅시다.

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$

위 적분은, $a$부터 $b$까지 $x$축 수직선을 따라 적분한 것으로 생각할 수 있습니다. 하지만, 어떤 상황에서는 직선을 따라 적분하는 것이 아니라, 곡선을 따라 적분하는 것이 필요합니다. (자세한 예시는 아래서 설명하겠습니다.)

그래서 등장한 것이 선적분입니다. 선적분에는 스칼라장의 선적분과 벡터장의 선적분 2가지가 있는데, 하나씩 살펴봅시다.

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스칼라장의 선적분

스칼라장의 선적분의 대표적인 예시는 줄의 질량을 구하는 문제입니다. 평면에서 한 점의 질량을 주는 함수가 있을 때, 평면 위에 놓여있는 밧줄의 질량을 구하는 문제는 스칼라장의 선적분을 통해 해결할 수 있습니다.

선적분
곡선 $C$와 그 미소길이 $ds$에 대해, 스칼라장 $f(x, y)$ 위에서의 선적분은
$$\int_{C}{f(x, y)ds}$$

 

 

[유도]

곡선 $C$위에 $n$개의 점 $P_1, P_2, \cdots, P_n$을 잡고, 선분 $\overline{P_iP_{i+1}}$들을 통해 곡선을 직선 조각들로 근사할 수 있습니다.

$\overline{P_iP_{i+1}}$위에서, 점 $P_i$의 함숫값 $f(x_i, y_i)$과 선분의 길이 $\Delta s_i$를 곱하는 것을 모든 선분에 대해 연산하여 총합을 구하는 것으로 곡선을 따라 적분하는 것을 근사합니다.

$$\sum_{i=1}^{n}{f(x_i, y_i)\Delta s_i}$$

이제 $\Delta s_i$를 0으로 극한을 취해주면 선적분이 유도됩니다.

$$\lim_{\Delta s_i \to 0}{ \sum_{i=1}^{n}{f(x_i, y_i)\Delta s_i} }=\int_{C}{f(x, y)ds}$$

 

 

[계산 방법]

곡선을 $C=(x(t), y(t)) (a\leq t\leq b)$와 같이 매개변수 $t$를 이용하여 표현하면, 곡선의 미소길이는

$$ds=\sqrt{ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }dt$$

가 되고, 선적분을 $t$를 이용하여 다시 써주어 선적분을 계산할 수 있습니다.

$$\int_{C}{f(x, y)ds}=\int_{a}^{b}{f(x(t), y(t)) \sqrt{ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 +\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }dt }$$

 

 

[예시 문제]

스칼라장 $f(x, y)=x+2y$에 대해, 곡선 $C:x^2+y^2=4$의 제1사분면 부분에서의 선적분을 구하시오.

[풀이]

곡선 $C:x^2+y^2=4$의 제1사분면 부분을 매개변수 $t$를 이용하여 표현하면,

$$x=\cos{t}, \; y=\sin{t}, \; 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}$$

이고, 이를 이용하여 미소 길이 $ds$를 계산하면

$$ds=\sqrt{(-\sin{t})^2+(\cos{t})^2}dt=dt$$

이다. 따라서 선적분을 계산하면,

$$\int_{C}{f(x, y)ds}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\cos{t}+2\sin{t})}dt\\=\left.\left(\sin{t}-2\cos{t}\right)\right\rvert_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\=3$$

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벡터장의 선적분

벡터장의 선적분의 대표적인 예시는 곡선 경로를 따라가며 한 일을 구하는 문제입니다. 평면에서 각 점에서의 힘이 주어진다면 어떠한 곡선 경로를 따라 이동한 물체가 받은 일은 무엇인가를 구하는 거죠.

벡터장
곡선 $C$와 그 미소 벡터 $d\mathbf{s}$에 대해, 벡터장 $\mathbf{F}(x, y)=F_x(x, y)\mathbf{\hat{i}}+F_y(x, y)\mathbf{\hat{j}}$ 위에서의 선적분은
$$\int_{C}{\mathbf{F}(x, y)\cdot d\mathbf{s}}$$

 

 

[유도]

곡선 경로를 따라가며 한 일을 구하는 문제를 통해 벡터장의 선적분을 유도해봅시다.

 

(스칼라장의 선적분에서와 마찬가지로,) 곡선 $C$위에 $n$개의 점 $P_1, P_2, \cdots, P_n$을 잡고, 선분 $\overline{P_iP_{i+1}}$들을 통해 곡선을 직선 조각들로 근사할 수 있습니다.

$\Delta \mathbf{s}_i=\overrightarrow{P_iP_{i+1}}$, $\mathbf{F}_i=F(P_i)$일 때, 선분 $\overline{P_iP_{i+1}}$을 따라 한 일은 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

$$W_i=\mathbf{F}_i \cdot\Delta\mathbf{s}_i$$

따라서 "직선 조각들"을 따라가며 한 알짜일은

$$W=\sum{ \mathbf{F}_i \cdot\Delta\mathbf{s}_i }$$

이고, $\Delta \mathbf{s}_i$의 극한을 0으로 취해주면 곡선을 따라 한 일이 됩니다. 선적분이 유도되는 것이죠.

$$W=\lim_{ \Delta \mathbf{s}_i \to 0}{ \sum{\mathbf{F}_i \cdot\Delta\mathbf{s}_i } }=\int_{C}{ \mathbf{F}\cdot d\mathbf{s} }$$

 

 

[계산 방법]

곡선을 $C$의 미소곡선벡터를 $d\mathbf{s}=dx\mathbf{\hat{i}}+dy\mathbf{\hat{j}}$로 씁니다.

벡터장을 $\mathbf{F}(x, y)=F_x(x, y)\mathbf{\hat{i}}+F_y(x, y)\mathbf{\hat{j}}$로 쓰면, 선적분은

$$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}}=\int_{C}{F_xdx+F_ydy}$$

으로 풀어쓸 수 있고, 곡선 $C$의 방정식을 이용하여 위 적분의 문자를 통일하여 값을 계산해주면 됩니다.

 

 

[예제]

벡터장 $\mathbf{F}=x^2\mathbf{\hat{i}}+xy\mathbf{\hat{j}}$에 대해, 곡선 $C:y=x^2, \; (0 \leq x \leq 3)$을 따라 선적분하시오.

[풀이]

곡선의 방정식을 이용하여 $dy$를 계산하면

$$dy=2xdx$$

이고, 이를 선적분 식에 대입하여 $x$에 대해 문자를 통일해주어 값을 계산할 수 있다.

$$\int_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{s}}=\int_{C}{x^2dx+xydy}\\=\int_{0}^{3}{x^2dx+x(x^2)(2xdx)}=\int_{0}^{3}{(2x^4+x^2)dx}\\=\left.\left(\frac{2}{5}x^5+\frac{1}{3}x^3\right)\right\rvert_{0}^{3}\\=\frac{531}{5}$$

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이렇게 선적분에 대해 다루어보았는데, 솔직히 설명한 것이 잘 와닿을 수 있을지 걱정입니다. 아직 이해한 것을 표현하는 부분이 미숙한 것 같네요. 어려운 수학 개념을 글로 설명하는 연습을 더 해야겠습니다.