[벡터 해석학] 그린 정리 (Green' Theorem)

오랜만에 돌아온 글쓰기.

면접 준비 겸, 이 글에서는 그린 정리에 대해 알아보도록 하겠습니다.

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지난번 글에서 선적분에 대해 다루었습니다.

https://crane206265.tistory.com/48

[벡터 해석학] 선적분 Line Integral

그린 정리는 선적분 계산을 (2차원) Curl 연산으로 바꾸어주는 역할을 하는 정리입니다.

먼저 어떤 것인지부터 살펴보도록 하죠.

그린 정리 Green Theorem

벡터장 $\mathbf{F}(x, y)=F_1(x, y)\mathbf{\hat{i}}+F_2(x, y)\mathbf{\hat{j}}$으로 놓고, 선적분 방향을 면적 A의 boundary를 따라 반시계 방향으로 잡으면,
$$\iint_{A}{\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)dxdy}=\oint_{\partial A}{(F_1dx+F_2dy)}$$
또는
$$\iint_{A}{(\nabla\cdot\mathbf{F})\cdot d\mathbf{A}}=\oint_{\partial A}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}} \quad \text{(*2D-Curl)}$$

즉, 어떤 면적 A의 경계를 따라 반시계 방향으로 선적분한 것은 그 면적 전체에서의 Curl 연산을 면적분한 것이라는 정리입니다. (위의 정리에서 $\partial A$는 면적 $A$의 경계를 뜻합니다.)

 

(왜 2D-Curl인지 헷갈리시는 분들을 위해...)

2차원을 고려하기 위해 벡터장을 $\mathbf{F}=F_1\mathbf{\hat{i}}+F_2\mathbf{\hat{j}}$로 생각합니다. 그러면

$$\nabla\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix} \mathbf{\hat{i}} & \mathbf{\hat{j}} & \mathbf{\hat{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_1 & F_2 & 0 \end{vmatrix}\\=\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}$$

즉, $\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}$는 2차원에서의 회전(Curl) 연산을 의미합니다.

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그린 정리의 의미

그린정리의 의미가 뭔지, 저 요상하게 생긴 수식이 도대체 뭘 뜻하는 것인지부터 알아봅시다.

아래와 같은 면적 $A$와 그 경계가 되는 곡선 $C$를 생각해봅시다. 면적 $A$를 여러 조각으로 나누면 각 조각의 둘레를 곡선 $C_i$로 쓸 수 있습니다.

그런데, 선적분의 방향이 반대이면 절대값이 같고 부호가 반대인 결과를 얻습니다. 즉, 아래와 같은 경우에는 두 작은 조각의 선적분을 더할 경우 바깥 테두리의 선적분과 같아지게 됩니다. 중간에 겹치는 부분의 선적분이 "상쇄"되기 때문이죠. 

이를 이용하여, 면적 $A$를 잘게 나눈 조각들의 경계 $C_i$들의 선적분을 모두 더하면 면적 $A$의 테두리 $C$의 선적분이 됨을 알 수 있습니다. 식으로 쓰면,

$$\oint_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\sum_{k=1}^{N}{\oint_{C_k}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}}$$

이제 $N$을 무한대로 보내봅시다. 그러면 각 조각들은 직사각형 미소 면적으로 생각할 수 있습니다.

Curl 연산을 생각해보면, 한 점에서의 회전을 나타내는 벡터를 결과로 내놓았습니다. 미소 면적 안에서는 회전이 모두 같다고 생각할 수 있으므로, 회전 벡터와 미소면적의 면벡터를 내적하면 그 면적 전체에서의 회전량이 나온다고 생각할 수 있습니다.

그러면, 각 미소면적 조각의 테두리의 선적분은, 미소면적의 면벡터와 Curl 연산 벡터를 내적한 값과 같다고 할 수 있습니다. 즉,

$$\oint_{C_k}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{A}$$

입니다. 따라서 위에 식에서 극한을 취해주면, 

$$\oint_{C}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\lim_{N \to \infty}{\sum_{k=1}^{N}{\oint_{C_k}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}}}\\ =\lim_{N \to \infty}{\sum_{k=1}^{N}{(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{A}}}\\=\iint_{C}{ (\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{A}}$$

입니다. 제대로 된 유도는 아니지만, 그린정리가 의미하는 바를 알 수 있죠.

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그린 정리의 유도

그러면 이제 제대로 된 유도를 해봅시다. 아래와 같은 곡선을 생각합니다.

폐곡선 $A$를 곡선 $y_u$와$y_l$로, $x_l$와 $x_r$로 분해할 수 있습니다. 또한 벡터장은 $\mathbf{F}(x, y)=F_1(x, y)\mathbf{\hat{i}}+F_2(x, y)\mathbf{\hat{j}}$로 놓습니다.

 

선적분 $A$를 계산하면

$$\oint_{A}{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}}=\oint_{A}{(F_1dx+F_2dy)}$$

인데, 우변의 두 항을 각각 계산해서 더해주겠습니다.

 

먼저

$$\oint_{A}{F_1dx}=\int_{a}^{b}{F_1(x, y_l)dx}+\int_{b}^{a}{F_1(x, y_u)dx}\\=\int_{a}^{b}{\left(F_1(x, y_l)-F_1(x, y_u)\right)dx}$$

입니다. 미적분학의 기본정리 $\int_{a}^{b}{\frac{df}{dx}dx}=f(b)-f(a)$에 의해,

$$\int_{a}^{b}{\left(F_1(x, y_l)-F_1(x, y_u)\right)dx} = \int_{a}^{b}\int_{y_u}^{y_l}{\frac{\partial F_1}{\partial y}dydx}\\=-\int_{a}^{b}\int_{y_l}^{y_u}{\frac{\partial F_1}{\partial y}dydx}\\=-\iint_{A}{\frac{\partial F_1}{\partial y}dxdy}$$

입니다. 중간에 부호를 바꾸어준 이유는 $y$축 증가 방향이 $y_l$에서 $y_u$로 가는 방향이기 때문입니다.

 

같은 방법으로,

$$\oint_{A}{F_2dy}=\int_{c}^{d}{F_2(x_r, y)dy}+\int_{d}^{c}{F_2(x_l, y)dy}\\=\int_{c}^{d}{\left(F_2(x_r, y)-F_2(x_l, y)\right)dx}\\= \int_{c}^{d}\int_{x_l}^{x_r}{\frac{\partial F_2}{\partial x}dxdy}\\=\iint_{A}{\frac{\partial F_2}{\partial x}dxdy}$$

입니다. 따라서,

$$\oint_{A}{(F_1dx+F_2dy)}=\iint_{A}{\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)dxdy}$$

입니다. 이렇게 그린 정리를 증명할 수 있습니다.

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이렇게 그린 정리에 대해 글을 써보았는데

음.....

뭔가 확실히 설명이 미숙한 것 같습니다. 어려운 내용이라 그런가,,

글쓰기 실력을 좀 늘려보도록 하겠습니다.